Şekil 1. Fren Kolu Komplesi Serbest Cisim Diyagramı

Şekil 2’de komplenin üç elemanının serbest cisim diyagramı ayrı ayrı çizilmiş, her elemana uygulanan kuvvetler ve momentler gösterilmiştir. Yine ağırlıklar ihmal edilmiştir. Fren koluna ( 2 no’lu elemana ) üç kuvvet etki etmektedir. Bunlar; F_b2, F_c2, ve F₁₂. Burada kuvvetin iki karakterle gösterimi; 1 no’lu elemanın 2’ye uyguladığı kuvvet  (F₁₂) veya 2 no’lu elemana B’de uygulanan kuvveti (F_b2) ifade etmektedir. İki karakterle gösterimde birinci karakter kuvvetin kaynağını, ikinci karakter kuvvetin hangi elemana etkidiğini göstermektedir. C noktasını orijin olarak kabul eden koordinat sisteminde, R_b2 ve R₁₂ vektörleri bu eleman üzerine etkiyen F_b2 ve F₁₂ kuvvetlerinin konum vektörleridir.

Fren kolu üzerindeki F_b2  kuvvetinin büyüklüğü ve yönü bilinmektedir. F_c2  kablo içinde oluşan kuvvettir. Bu kuvvetin yönü biliniyor fakat büyüklüğü bilinmiyor. F₁₂  kuvveti 1 no’lu eleman tarafından 2.’ye fren kolu vidası üzerinde uygulanmaktadır. Bu kuvvetin doğrultusu ve büyüklüğü bilinmiyor. [1-2]

Şekil 2. Fren Kolu Komplesi Elemanları Serbest Cisim Diyagramları

Denge Denklemleri:

Statik yük durumu için;

å Fx= 0      å Fy = 0          å Mz = 0         (2.1)

eşitliklerini kullanarak x ve y doğrultusundaki kuvvetleri ve C noktası etrafındaki momentleri toplarsak aşağıdaki eşitlikler elde edilir. Bilinmeyen kuvvetler ve momentler başlangıç olarak pozitif yönde kabul edilmiştir.

å Fx  =  F_12x  +  F_b2x  +  F_c2x  = 0                     (2.2)

å Fy  =  F_12y  +  F_b2y  +  F_c2y  = 0                      (2.3)

å Mz  =  ( R₁₂ x F₁₂  )  +  ( R_b2 x F_b2  ) = 0        (2.4)

Moment eşitliğindeki vektör çarpımları uygulanan kuvvetlerin C noktası etrafındaki momentlerini temsil etmektedir. Bu vektör çarpımları açılarak moment eşitliği;

å Mz  =  ( R_12x F_12y – R_b2x F_b2y  )  + (R_b2x F_b2y – R_b2y F_b2x ) = 0                                    (2.5)

şeklinde yazılır. Bu durumda üç eşitlik ve dört bilinmeyen var. Bu nedenle bir eşitliğe daha ihtiyaç var. F_c2’nin doğrultusu biliniyor. Bu kullanılarak F_c2 kuvvetinin bir bileşeni diğer bileşen ve kablonun bilinen Angc2 açısı cinsinden ifade edilebilir;

F_c2y =  F_c2x tanAngc2                                       (2.6)

Şekil 2’de 3 no’lu eleman gösterilmiştir ve 1 no’lu elemanda bulunan delikten geçmektedir. 1 ve 3 no’lu parçaların temas noktası sürtünmesiz olarak kabul edilebilir. Ayrıca F₁₃ , F_c3 , F_kablo kuvvetlerinin aynı noktadan geçtiği ve moment oluşturmadığı kabul edilirse;

å Fx =  F_kablox  +  F_13x  +  F_c3x  = 0                     (2.7)

å Fy =  F_kabloy  +  F_13y  +  F_c3y  = 0                     (2.8)

Şekil 2’deki 1 no’lu elemana kuvvet ve momentler etkimektedir. Buradan üç eşitlik daha elde edilir;

å Fx =  F_21x  +  F_b1x  +  F_31x  +  P_x  = 0               (2.9)  

å Fy =  F_21y  +  F_b1y  +  F_31y  +  P_y  = 0           (2.10)

å Mz =  M_h  +  ( R₂₁ x F₂₁ )  + ( R_b1 x F_b1 )  +  ( R₃₁ x F₃₁ )  +  ( R_p x F_p )  = 0     (2.11)

Moment eşitliğindeki vektör çarpımları açılırsa;

åMz  = M_h + (R_21x F_21y – R_21y F_21x )  + 

(R_b1x F_b1y – R_b1y F_b1x ) +(R_31x F_31y + R_31y F_31x)          (2.12)

+ ( R_px P_y + R_py P_x )  = 0                              

Bu noktada tüm bilinmeyenlerin sayısı on dokuz. Şu anda (2.2), (2.3), (2.5), (2.6), (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), (2.12) olmak üzere dokuz eşitlik var ve denklem sisteminin çözülebilmesi için on eşitliğe daha ihtiyaç var. Bunların altı tanesi Newton’un üçüncü kanunundan elde edilebilir.

F_c3x =  - F_c2x                F_c3x =  - F_c2y

F_21x =  - F_12x                F_21y =  - F_12y

F_31x =  - F_13x                F_31y =  - F_13y                    (2.13)

İki eşitlik de el tarafından fren koluna ve gidon sapına uygulanan kuvvetlerin eşit ve ters yönlü olduğu kabulünden elde edilir.

F_b1x =  - F_b2x

F_b1y =  - F_b2y                                                 (2.14)

Kalan iki eşitlik ise verilen geometriden ve sistem üzerinde yapılan kabullerden elde edilebilir. F_kablo kuvvetinin doğrultusunun kablonun doğrultusuyla aynı olduğu biliniyor. Kablo kuvveti F_kablo’nun pozitif x ekseniyle yaptığı açının (Angcabl) değeri bilindiğine göre buradan da bir eşitlik elde edilebilir.

F_kabloy = F_kabloxtan(Angcabl)                               (2.15)

Sürtünme olmadığı kabulüne dayanarak F₃₁ kuvvetinin, tel ile 1 no’lu parçadaki deliğin temas noktasına dik olduğu kabul edilebilir. F₃₁ kuvvetinin pozitif x ekseniyle yaptığı Ang31 açısının değeri bilindiğine göre;

F_31x = F_31ytan(90-Ang31)                                (2.16)

Böylece (2.13), (2.14), (2.15) ve  (2.16) setlerindeki on denklemle birlikte on dokuz denklem elde edildi. [1-2]

Denge Denklemlerinin Çözümü:
Elde edilen on dokuz eşitlik yardımıyla on dokuz bilinmeyen bulunabilir. Elde edilen bu denklem sistemi matris şekline sokularak bir bilgisayar programı yardımıyla çözülebilir. Burada bu denklem sistemini çözmek için Excel programı kullanılmıştır. Bunun için öncelikle elde edilen denklem sistemi matris çarpımı şeklinde ifade edilir. [A] katsayılar matrisi, {X} bilinmeyenler matrisi, {B} sabitler matrisi olmak üzere denklem sistemi:

[A] x {X} = {B}                                        (2.17)

eşitliğiyle ifade edilebilir. Bu eşitliğin iki tarafı [A]^-1 matrisiyle çarpılırsa:

[A]^-1  x [A] x {X} = [A]^-1  x {B}  {X} =  [A]^-1  x {B}                                     (2.18)

şeklinde bilinmeyenler matrisi bulunmuş olur. Katsayılar matrisi [A] Tablo 1’de, katsayılar matrisinin tersi [A]^-1 Tablo 2’de, sabitler matrisi {B} ile bilinmeyenler matrisi {X} Tablo 3’te gösterilmiştir. [2-3]

Tablo 1. Katsayılar Matrisi [A]

Tablo 2. Katsayılar Matrisinin Tersi [A]^-1

Tablo 3. Sabitler Matrisi {B} ve Bilinmeyenler Matrisi {X}

Tablo 4. Fren Kolu Elemanlarının Ölçüleri

SONUÇ

Tablo 4’te konum vektörleri, açılar ve değeri bilinen kuvvetlerin değerleri verilmiştir. Tablo 5’te bilinmeyen kuvvetlerin ve momentin hesaplanan değerleri verilmiştir. Görüldüğü gibi F_kablox =  -598 N, F_kabloy = -160 N bulunmuştur. Buradan F_kablo = 620 N olarak bulunur. Hesaplanan kablo kuvveti tekerleklerdeki frenleme elemanlarına kadar iletildiğinden bu elemanlardaki kuvvet analizi için kullanılır.

İncelenen sistem iki boyutlu statik yükleme durumunda olduğundan ve yapılan kabuller nedeniyle oldukça basite indirgenerek çözülmüştür. Ancak bu çalışmanın, ivmelerin de hesaba katılacağı dinamik yükler etkisindeki sistemlerin ve üç boyutlu problemlerin çözümü için yol gösterici olduğu düşünülmektedir.

Elde edilen on dokuz denklemde bilinmeyenlerin biri diğeri cinsinden yazılarak ve yerine koyma yöntemiyle bilinmeyenlerden bir kısmı çözülebilirdi. Ancak bu durumda işlem sayısı artacağından denklem sistemi matris tersi yöntemiyle çözülmüştür. Bu yöntem çok bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümüne imkan sağladığından özellikle bunların çözümünde tercih edilebilir.

Tablo 5. Fren Kolu Kuvvet Analizi Sonuçları